Класс-info
Для любознательных
Наталия Жарковская ,
г. Санкт-Петербург
г. Санкт-Петербург
Случайность или закономерность?
Математика для всех
Вначале были игры
Если сравнить с тысячелетней историей математики, теория вероятностей – наука совсем молодая, первые научные трактаты, связанные с ней, появляются только в XVI в. Но то, что случайность подчиняется каким-то своим законам, люди заметили еще в глубокой древности. Откуда это известно? Конечно, от археологов. При раскопках специально обработанные для игры кости животных находят уже в поселениях древних людей, относящихся к V тысячелетию до н.э. Чаще всего для этого использовали косточку, расположенную между пяткой и голенью. Позже для игр стали изготавливать специальные граненые палочки с отметками на гранях. А затем стали появляться игральные кубики, очень похожие на современные, даже грани у них нумеровались так же, как и сейчас: 1 против 6, 2 против 5 и 4 против 3. Самый древний из хранящихся в музеях игральный кубик найден в северном Ираке в XX в. до н.э.
Можно считать установленным, что во время игры или гадания эти кости подбрасывали и следили за тем, как они упадут. У косточек, которые использовались для этих целей, есть четыре явно выраженные грани; было хорошо известно, какие из граней выпадают чаще, а какие – реже. Но никаких количественных оценок случайности, похоже, до второго тысячелетия люди не знали.
Игры, основанные на случайности, вызывали огромное возбуждение, азарт у всех участников. В эти игры часто играли на деньги. И государство, и церковь не раз пытались запретить азартные игры, но безуспешно.
Конечно, игроки рассчитывали на свою удачу, но многие из них старались как-то обобщить накопленный опыт и найти надежные правила, увеличивающие шансы в игре. Так накапливались первые наблюдения над законами, управляющими случаем.
Наблюдаем за случаем
Давайте и мы попробуем посмотреть, как проявляются законы, которым подчиняется случай. Проще всего это сделать с помощью обыкновенной монетки. Попробуем подбрасывать ее над какой-нибудь плоской поверхностью (над столом или над полом). Монетку надо побрасывать так, чтобы она крутилась и нельзя было заранее знать, какой стороной она упадет. Подумаем сначала: какого результата надо ожидать от нашего опыта? Если монетка ровная, без дефектов, а при подбрасывании мы ее сильно закручиваем, то каждый скажет, что герб и решка (то есть цифра) будут появляться одинаково часто: примерно в половине случаев мы должны увидеть герб, а в половине – решку. Что же происходит на самом деле? Давайте посмотрим на следующую таблицу. В каждой клеточке этой таблицы записано число появлений герба при десяти подбрасываниях монетки, а всего монетку для составления этой таблицы бросали тысячу раз. В конце каждого столбца стоит сумма чисел из всех его клеточек, то есть количество появлений герба при сотне подбрасываний.
| 7 | 6 | 4 | 6 | 4 | 3 | 4 | 3 | 4 | 5 |
| 7 | 6 | 3 | 5 | 5 | 6 | 6 | 4 | 6 | 5 |
| 6 | 6 | 5 | 4 | 6 | 6 | 4 | 4 | 6 | 4 |
| 5 | 5 | 4 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 4 | 4 |
| 7 | 4 | 4 | 6 | 4 | 5 | 4 | 4 | 4 | 7 |
| 6 | 4 | 5 | 7 | 7 | 4 | 6 | 4 | 6 | 4 |
| 3 | 5 | 7 | 3 | 4 | 5 | 4 | 4 | 5 | 7 |
| 7 | 4 | 3 | 4 | 3 | 4 | 6 | 5 | 5 | 7 |
| 5 | 6 | 8 | 7 | 6 | 5 | 5 | 5 | 3 | 3 |
| 4 | 5 | 4 | 3 | 5 | 4 | 4 | 6 | 5 | 2 |
| 57 | 51 | 47 | 47 | 47 | 46 | 48 | 45 | 48 | 48 |
Что же показывает наша таблица? При маленьком числе подбрасываний наши ожидания не оправдываются – частота появления герба и решки может отличаться в несколько раз. Но если увеличить число бросков хотя бы до 100, то результаты опыта становятся уже гораздо ближе к ожидаемым. А общее число гербов в этой серии из 1000 подбрасываний равно 484, что уже близко к половине.
Этот пример хорошо показывает, как работают законы, управляющие случайностью: предсказать, как именно закончится следующее испытание, не может никто, но если повторять опыт много-много раз, то доля событий определенного сорта (в нашем случае – выпадений герба) будет всегда примерно одной и той же. Это явление называют статистической устойчивостью.
Измерим забывчивость
Статистической устойчивостью обладают далеко не все события. Во-первых, чтобы говорить о статистической устойчивости какого-то события, надо чтобы условия, в которых можно его наблюдать, хотя бы в принципе поддавались многократному повторению. Поэтому бессмысленно пытаться вычислить вероятность какого-нибудь исторического события или поступка какого-нибудь конкретного человека. Однако это свойство есть у очень многих событий. Например, еще в XVIII в. было замечено, что доля писем, отправленных без адреса, очень мало меняется год от года и составляет примерно 25–27 писем на миллион. Это значит, что вероятность того, что человек, вложив письмо в конверт, забудет его подписать, равно примерно 25/1 000 000.
Выберите страницу текста на русском языке и подсчитайте общее количество типографских знаков на ней (знаки препинания считать не надо, а вот пробелы между словами надо учитывать). Затем количество букв «а» на этой странице разделите на общее число знаков на странице (эта величина называется частотой буквы в тексте). У вас должно получиться число, близкое к 0,06. А если проделать те же вычисления для буквы «о», то получится примерно 0,09. Это значит, что частота буквы обладает статистической устойчивостью.
Факт этот известен давно и использовался при формировании наборных касс в те времена, когда книги и другие печатные издания набирались вручную. Учитываются частоты букв и при изготовлении клавиатур пишущих машинок и компьютеров: часто встречающиеся буквы расположены на самых удобных местах клавиатуры, встречающиеся редко – на менее удобных.
В таблице приведены частоты букв русского алфавита.
| Знак | Частота | Знак | Частота |
| пробел | 0,175 | я | 0,018 |
| о | 0,090 | ы | 0,016 |
| е, ё | 0,072 | з | 0,016 |
| а | 0,062 | ь, ъ | 0,014 |
| и | 0,062 | б | 0,014 |
| т | 0,053 | г | 0,013 |
| н | 0,053 | ч | 0,012 |
| с | 0,045 | й | 0,010 |
| р | 0,040 | х | 0,009 |
| в | 0,038 | ж | 0,007 |
| л | 0,035 | ю | 0,008 |
| к | 0,028 | ш | 0,006 |
| м | 0,026 | ц | 0,004 |
| д | 0,025 | щ | 0,003 |
| п | 0,023 | э | 0,002 |
| у | 0,021 | ф | 0,002 |
Что означает устойчивость частоты появления букв в тексте с точки зрения теории вероятностей? Например, это значит, что вероятность того, что наугад выбранная буква русского текста окажется буквой «а», примерно равна 0,062, а вероятность того, что мы таким же случайным способом выберем букву «э», равна всего 0,002.
Раскрываем секреты
По всей видимости, первыми обнаружили устойчивость частоты появления букв в тексте арабские ученые конца I тысячелетия н.э. И они же догадались, как можно это явление применить для чтения зашифрованных сообщений. В то время для хранения и передачи секретных сведений широко использовали так называемые шифры замены. Чтобы зашифровать сообщение таким шифром, надо было каждую букву исходного текста заменить какой-нибудь другой буквой или символом (при этом одинаковые буквы обычно заменялись одинаковыми символами, а разные, конечно же, разными). Расшифровать их, не зная правил замены, было очень трудно. Точно не известно, кто первый догадался использовать для чтения таких текстов частотные свойства букв, но первое изложение метода, основанного на этом явлении, принадлежит жившему в IX в. арабскому ученому Аль-Кинди. Для расшифровки текста он предлагал поступать так:
– сначала для каждого символа шифрованного текста подсчитать его частоту;
– затем расположить эти символы в порядке убывания частоты: сначала самый частый, потом следующий и т.д.;
– потом буквы алфавита данного языка расположить в порядке убывания частоты;
– заменять символы шифрованного текста буквами алфавита надо так: первый символ – первой буквой, второй – второй и т.д.
В истории черпаем мы мудрость, в поэзии – остроумие, в математике – проницательность.
Ф.Бэкон
Конечно, на деле не все выглядит так просто: частота буквы в тексте может отличаться от стандартной, есть буквы с близкими частотами... Но все равно это изобретение очень сильно упростило работу по расшифровке и заставило создателей шрифтов искать новые пути.