Математическая олимпиада за чашкой чая

Ирина ХОВАНСКАЯ

Задачки для детей и взрослых от 8 до 88 лет

---

Усадите всех участников – детей и взрослых – за обеденный стол. Угостите чаем с чем-нибудь вкусненьким. Раздайте ручки и листы бумаги. А теперь пора объявить открытие олимпиады по математике.

Задачки и примерчики можно решать тут же, прихлебывая чай. Либо помогать соседу, подсказывая ему по ходу рассуждений.

Если чай остынет – не беда. Его всегда можно подогреть, чтобы заключительной чашкой (с чем-нибудь особенно вкусненьким) чествовать победителей.

А в заключение все отправятся в олимпийское путешествие, чтобы из полевых цветов сплести венки и увенчать ими умные головы победителей.

• Решить примеры не в столбик:
1) 25х16 + 35х14
2) 37х12 + 99х15
3) 99999 + 65480765

• Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?

• Вредные Девчонки и Драчливые Мальчишки съели за ужином 57 ростиков. Известно, что каждый Драчливый Мальчишка уплел 8 ростиков, а каждая Вредная Девчонка 5 ростиков. Сколько Вредных Девчонок и Драчливых Мальчишек ели на ужин ростики?

• Митёк задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил результат на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил 2. Какое число задумал Митёк?

• Какую последнюю цифру имеет произведение всех целых чисел от 1 до 199? А произведение всех нечетных чисел от 1 до 199?

• В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой?

• Поставьте знаки <, > или = :
1) 2001/2002 ... 2000/2001;
2) 3/4 + 1/7 ... 2/3+1/8;
3) 17/119х2 ... 17/119х1/2

• Банка с медом весит 500г. Та же банка с керосином весит 350г. Керосин вдвое легче меда. Сколько весит пустая банка?

• Из 100 путешественников, отправляющихся в дальние страны, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским – 10, немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3. Сколько путешественников не владеют ни английским, ни французским, ни немецким?

• 1) Среди чисел от 1 до 1000 сколько чисел делятся на 3?
2) Сколько чисел в первой тысяче делятся на 5?
3) Сколько чисел в первой тысяче делятся и на 3, и на 5?
4) А сколько чисел в первой тысяче делятся на 5, но не делятся на 3?

• 28 января червячок, живущий в собрании сочинений Астрид Линдгрен, прогрыз путь от первой страницы первого тома до последней страницы четвертого тома. Сколько листов прогрыз червячок 28 января, если тома стоят на полке по порядку и в каждом томе по 200 страниц?

• Ленивому Пильщику нужно распилить кубик со стороной 3 см на кубики со стороной 1см.
1) Сколько маленьких кубиков получится у Ленивого Пильщика?
2) После каждого распила Ленивый Пильщик может переставлять части кубика, как ему заблагорассудится. За какое минимальное количество распилов Ленивый Пильщик может выполнить эту работу?

• Турист вышел из своей палатки, прошел 5 км на юг, 5 км на восток и 5 км на север, после чего снова оказался у своей палатки. Где это могло произойти?

• Сравнить дроби 2000/2001 и 2001/2002.

• В тридевятом царстве, в тридесятом государстве стоит сломанный разменный автомат. Если бросить в него монетку в 10 центов, он возвращает четыре монетки: одну пятицентовую монетку и три монетки по одному центу. Если бросить в него монетку в пять центов, автомат вернет вам всего лишь одну монетку в один цент, но если вы бросите в него монетку в 1 цент, то получите две монеты – одну десятицентовую и одну пятицентовую.

1) Можно ли при помощи этого автомата разменять пятицентовую монетку на пять монеток в один цент?

2) Можно ли, имея одну монетку в пять центов, воспользоваться автоматом столько раз, сколько вам захочется, и получить ровно 55 центов?
3) Можно ли, имея одну одноцентовую монету, получить ровно один доллар?

• После семи стирок и длина, и ширина, и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?

• Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?

• Обозначим сумму трех последовательных чисел через a, а сумму трех следующих за ними натуральных чисел через b. Может ли произведение ab равняться 11111111111111 ?

• Разложите гири с весами 1 грамм, 2 грамма, 3 грамма... 555 граммов на три кучи, равные по весу.

• Встретились как-то три человека – Правдолюб, всегда говорящий правду, всегда лгущий Лжец и Нормальный Человек, иногда говорящий правду, а иногда и врущий.

Поликарп говорит: «Я Нормальный Человек».

Савоаф говорит: «Поликарп и Магнус иногда говорят правду».

Магнус говорит: «Савоаф – Нормальный Человек».

Кто из них Правдолюб, кто Лжец, а кто Нормальный Человек?

• Можно ли таблицу 5 на 5 заполнить числами так, чтобы сумма чисел в любой строке была положительной, а сумма чисел в любом столбце – отрицательной? Если да, нарисовать таблицу, если нет, объяснить почему.

• Перед началом Олимпиады хоккейные шайбы подорожали на 10%, а после окончания Олимпиады подешевели на 10%. Когда шайбы стоили дороже – до подорожания или после удешевления?

• На каждом километре шоссе между селами Елкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Елкина, а на другой – до Палкина. Вдумчивый Наблюдатель заметил, что на каждом столбе сумма всех цифр равна 13. Каково расстояние от Елкина до Палкина?

• Кузнечик Вася прыгает по прямой. В первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз на 2 см в какую-то сторону, в третий раз на 3 см и т.д. Мог ли Вася после 25 прыжков оказаться в той же точке, где начал?

• Перед вами шуточное стихотворение, которое мы воспроизводим, переставив строки произвольным образом (кроме того, начальная заглавная буква той строки, которая была первой, заменена на строчную).

я видел дома над землей в вышине
я видел комету с лицом дождевым
я видел бочку с головку спички
я видел солнце в двенадцать ночи
я видел павлина с хвостом огневым
я видел репу по кочке ползущую
я видел глаза с очагом в глубине
я видел речку пивом бурлившую
я видел того кто все видел воочию
я видел слезы на кукольном личике
я видел улитку сома проглотившую
я видел тучу на грядке растущую

Установите правильный порядок слов и объясните, почему строки должны быть расположены именно в такой последовательности.

Примечание: текст приводится без знаков препинания, так как они отсутствуют в оригинале.

• Может ли среднее арифметическое 35 целых чисел равняться 6,35?

• Один сапфир и два топаза
Ценней, чем изумруд, в три раза.
А семь сапфиров и топаз
Его ценнее в восемь раз.
Определить мы просим вас:
Сапфир ценнее иль топаз?